Loch in der Bienenwabe, Bild: T. Bückmann/KIT

In einer regelmäßigen bienenwabenartigen Struktur wird ein Loch durch eine Verzerrung ausgeglichen. Kräfte von außen wirken dann fast so, als wäre das Loch nicht vorhanden; es ist sozusagen getarnt. Bild: T. Bückmann/KIT

Stabile Varianten bekannter Konstruktionen zu finden, kann etwa in der Architektur oder bei der Entwicklung neuer Baustoffe nützlich sein. Bisher war der mathematische Aufwand dafür hoch und führte in der Mechanik nicht zum Erfolg. Forscher des Karlsruher Instituts für Technologie (KIT) haben nun ein neues Prinzip entwickelt, das den mathematischen Weg vereinfacht und vielversprechende Ergebnisse mit einfacheren Mitteln liefert.

Der Begriff „Koordinatentransformation“ mag zunächst nicht nach einem einfachen Konzept klingen – doch solche mathematischen Umformungen können auch ganz anschaulich sein: Ein Netzwerk von verbundenen Punkten wird auf eine Gummihaut gemalt. Streckt und verzerrt man diese Gummifläche, hat man eine Koordinatentransformation nachgestellt. Wenn das gedachte Netzwerk auf eine Materialverteilung abgebildet werden kann, hat man einen recht universellen Design-Ansatz zur Hand, um etwa mechanische Kräfte, die auf das Material wirken, in gewünschte Bahnen zu lenken.

Für Licht ist die Grundlage solcher Umformungen die Mathematik der Transformationsoptik. Doch dieses Prinzip auf echte Materialien und Bauteile in der Mechanik zu übertragen, war bisher für reale Konstruktionen und Stoffe nicht möglich – die Mathematik lieferte gewissermaßen unmögliche Anforderungen an das Material.

Um die Schwierigkeiten zu umgehen, haben die Forscher am Institut für Angewandte Physik des KIT um Erstautor Tiemo Bückmann einen neuen, einfacheren Weg aufgetan. „Wir haben uns ein Netzwerk von elektrischen Widerständen vorgestellt“, erklärt Bückmann. „Dort kann man die Drahtverbindungen zwischen den Widerständen unterschiedlich lang wählen, aber ihr Wert verändert sich nicht. So bleibt die elektrische Leitfähigkeit des Netzwerks auch dann unverändert, wenn man es verformt.“

Test an gedrucktem Polymer

Dieses Gedankenexperiment haben die Forscher nun auf die Praxis übertragen. „In der Mechanik findet man das Prinzip wieder, wenn man sich kleine Federn anstelle der Widerstände vorstellt“, so Tiemo Bückmann. „Wir können einzelne Federn länger oder kürzer machen, wenn wir dafür ihre Form so anpassen werden, dass die Kräfte zwischen ihnen gleich bleiben. Dieses einfache Prinzip spart viel Rechenaufwand, und erlaubt uns das direkte Transformieren echter Materialien.“

Die Forscher haben ihre Methode in einem Modellversuch mit einem Material aus gedrucktem Polymer getestet. In eine stabile sechseckige, bienenwabenartige Struktur brachten sie ein Loch ein. Die verzerrenden Kräfte aufgrund der reduzierten Stabilität betrugen zunächst mehr als 700 Prozent. Nachdem die Forscher die entwickelte Umformung angewandt hatten, betrug der Fehler nur noch 26 Prozent. Die Ergebnisse veröffentlichte die Zeitschrift Proceedings of the National Academy of Sciences (PNAS).

Analyse eines Lochs in einer sechseckigen Struktur, Bild: T. Bückmann/KIT
Analyse des Beispiels vom Loch in einer sechseckigen Struktur: Der Verformungsfehler, der durch äußere Kräfte auf die Struktur mit Loch wirkt, ist groß – die Struktur ist sehr instabil. Mit der neuen Konstruktionsmethode kann dieser Fehler stark reduziert werden: Die Kräfte werden gleichsam um das Loch herumgelenkt. Bild: T. Bückmann/KIT

Die Anwendungsmöglichkeiten sind vielfältig: Mit der neuen Methode können bekannte, zusammengesetzte Materialien oder mechanische Stützkonstruktionen so berechnet werden, dass sie auch in besonderen Formen möglichst stabil auf äußere Kräfte reagieren – nämlich so, als ob die Stützkonstruktion unverformt wäre.